[선형대수학] 선형결합, 선형생성, 선형독립, 선형종속

🚩선형결합

- 여러개의 벡터 v1, v2, v3,,,vn 가 존재할 때 단순히 다 더하라는 뜻

- 일차결합과 같은 말로 수학에서 각 항에 상수를 곱하고 결과를 추가함으로써 일련의 항으로 구성된 식

 

벡터들의 합의 결합에 임의의 상수배를 한다는것은 c1, c2, c3,,,cn 의 실수들을 c1v1 + c2v2 + c3v3 + ... +cnvn 으로 더하는 것이다.

 

다른 선형결합의 예시를 들어보자.

벡터 a = (1,2), 벡터 b = (0, 3) 두 벡터가 존재할때 두 벡터의 선형결합은?

임의의 실수 0이나 3,2를 벡터에 연산해보자

0a + 0b = (0,0)

3a - 2b = (3, 0)

위와같은 연산들이 바로 선형결합이다.

 

이들을 그냥 결합이라고 부르지 않고 선형결합이라고 부르는 이유는 "상수배"를 하고있기 때문이다.

 

🚩선형생성

- 벡터 a와 b의 선형결합을 취해서 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합

- 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 따라서 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이 된다.

- 표현방식: 생성범위가 S인 경우 span(S) 또는 sp(S)

 

span(a,b) = R2 위에 어떤 벡터든지 벡터 a와 b로 만들어낼 수 있다.

span(0) = (0,0) 영벡터는 선형결합으로 얻을 수 있는 벡터는 오직 자신인 영벡터 뿐이다.

span(V1,V2,...,Vn) = {C1V1+C2V2+ ... +CnVn}

 

🚩선형종속, 선형독립

* 선형종속

- 집합의 한 벡터를 집합의 다른 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있는 것을 말한다. 즉, 특정 벡터가 나머지 벡터에게 의존하여 영향을 받는다고 할 수 있다.

* 선형독립

- 선형종속의 반대로 벡터집합의 그 어떠한 원소도 선형결합으로 나타낼 수 없는 것을 말한다. 즉, 각각의 벡터는 서로 독립적으로 존재한다고 할 수 있다.

 

예를 들어 벡터 a (2,3), b(7,2), c(9,5)가 있을때 이들은 선형종속일까 선형독립일까?

벡터들은 서로의 상수배가 아니기때문에 아마 선형독립이라고 판단하기가 쉽다.

그러나 벡터 a+b가 벡터 c로 표현될 수 있기 때문에 벡터 c는 다른 두 벡터의 선형결합이라고 볼 수 있다.따라서 이것은 선형종속 집합이다.

 

벡터 v1(7, 0)과 v2(0, -1)가 있을 때 둘은 선형독립일까? 둘 중 하나를 선형결합으로 나타낼 수 있을까?v1의 0에는 무었을 더하거나 곱해도 0이기 때문에 v2의 -1이 절대 나올 수 없고, v2도 마찬가지로 v1의 7항이 절대 나올 수 없다. 즉, 이 벡터들에 어떤 상수를 곱하거나 자기 자신을 더하거나 상수배 하더라도 선형결합이 될 수 없다. 그러므로 두 벡터는 선형독립이다.

 

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(출처: 칸아카데미)