컴공에서 살아남기

✔️ 삼각함수 정의 ✔️ 주기성 ✔️ 대칭성 ✔️ 이동성질

🚩 회전변환 반지름의 길이가 1이고, 중심이 원점인 단위원을 좌표평면에 나타내고, θ를 나타내는 각도(동경)와 원 사이의 교점을 P(x, y)라고 하자. 점 P에서 x축에 수선을 그으면 직각삼각형이 만들어지며, 점 P의 좌표는 (cosθ, sinθ)가 된다. 단위원이 아니라 반지름이 a인 경우에는 점 P의 좌표가 (a*cosθ, a*sinθ)가 될 것이다. 회전변환은 어떤 한 점을 중심으로 잡고, 이동시키고자 하는 점을 회전시키는 변환을 의미한다. 즉, 원점을 중심으로 회전시킨다면 "원점을 중심으로 θ만큼 회전시키는 변환"으로 칭할 수 있다. 어떤 점에서 θ만큼 이동시키는 회전변환을 나타내는 행렬은 아래와 같다. 즉, 점 P를 (x, y)라고 하고, 회전이동된 점을 (x', y') 라고한다면 아래와 같이..

🔀 외적 (Cross Product) 내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있어 성분이 두 개인 벡터에 대하여 내적을 취할 수 있다. 그러나 외적은 오직 R3에서만 정의된다. 내적의 결과는 스칼라값이지만, 외적의 결과는 벡터이다. ✔ 외적 공식 벡터 a [a1, a2, a3]이 있고 벡터 b [b1, b2, b3]이 있을 때 a x b = [ a2b3 - a3b2, a3b1 -a1b3, a1b2 - a2b1 ] 결과로 나온 벡터는 벡터 a와 b에 직교한다. 벡터 a와 벡터 b를 외적한 결과 벡터에 벡터 a또는 b를 내적한다면 그 결과는 0이 나온다. 따라서 두 벡터 a,b의 내적 값이 0이므로 명백하게 직교하고 있다고 다시 확인할 수 있다. (출처: 칸아카데미)

✔ 벡터의 내적 (Dot Product) a = (a1, a2, ... , an) b = (b1, b2, ..., bn) a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn => 실수값 예시) a(2,5), b(7,1)의 두 벡터가 있을 때 두 벡터의 내적 값은? 2*7 + 5*1 = 14+5 = 19 ✔ 벡터의 길이 (Length) |a| = 루트(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) 원래 알고있던 피타고라스 정리와 동일한 방법으로 길이를 구하면 된다. 예시) 벡터(2,5)의 길이는? 루트(2*2 + 5*5) = 루트(29) 자기자신을 내적한 결과는 길이의 제곱값이 나온다. 즉, 길이의 제곱 = 자기자신의 내적값 또한 벡터의 내적에서는 교환법칙, 분배법칙, 결합법칙이 모두 ..

🚩선형결합 - 여러개의 벡터 v1, v2, v3,,,vn 가 존재할 때 단순히 다 더하라는 뜻 - 일차결합과 같은 말로 수학에서 각 항에 상수를 곱하고 결과를 추가함으로써 일련의 항으로 구성된 식 벡터들의 합의 결합에 임의의 상수배를 한다는것은 c1, c2, c3,,,cn 의 실수들을 c1v1 + c2v2 + c3v3 + ... +cnvn 으로 더하는 것이다. 다른 선형결합의 예시를 들어보자. 벡터 a = (1,2), 벡터 b = (0, 3) 두 벡터가 존재할때 두 벡터의 선형결합은? 임의의 실수 0이나 3,2를 벡터에 연산해보자 0a + 0b = (0,0) 3a - 2b = (3, 0) 위와같은 연산들이 바로 선형결합이다. 이들을 그냥 결합이라고 부르지 않고 선형결합이라고 부르는 이유는 "상수배"를 하..

단위벡터(Unit Vector)는 그 크기가 정확히 1인 벡터를 말한다. 단위벡터를 표기할땐 i와 j의 점 부분을 ^으로 쓴다. 단위벡터 i (1,0)와 j (0,1)만 있다면 어떤 벡터든 만들 수 있다는 점에서 단위벡터는 굉장히 유용하게 사용된다. 어떠한 벡터 v(2,3)를 만들고 싶다면 v = 2i + 3j 와 같이 단위벡터의 덧셈과 곱셈을 이용해 만들 수 있다. [연습문제] v = (6,3) 방향의 단위벡터를 구하시오. 단위벡터의 크기는 1이기 때문에 벡터 v를 벡터의 크기로 나누어 방향은 같지만 크기는 1인 벡터를 구할 수 있다. 벡터의 크기는 길이와 같기 때문에 벡터v 의 길이를 먼저 구하고 그 후 v(6,3)를 나눈다. 따라서 벡터v의 단위벡터는 루트 45분의 6, 루트45분의 3이다. (출처..

벡터의 덧셈: 벡터(x1, y1)와 (x2, y2)를 더하려면 각 벡터에 대응하는 성분 (x1+x2, y1+y2)를 더한다. 벡터 a가 (6,-2)이고, 벡터 b가 (-4, 4)라면 a+b 벡터는 (2,2)이다. 벡터 a의 머리에 벡터 b의 꼬리를 붙여 그래프에 나타내면 벡터 a의 꼬리와 벡터 b의 머리를 잇는 결과가 나온다. 반대로 더하는 순서를 바꿔 b+a 벡터를 구해도 결과는 같다. 벡터는 방향과 크기가 같다면 그래프 상 어디에 그려지든 같은 벡터이다. 벡터 a(2,1)과 스칼라 값(3)을 곱한다면 3a = 3 * (2,1)이 된다. 이후 각 벡터의 성분 2와 1에 3을 곱하면 3a = (6,3) 벡터가 된다.벡터와 스칼라의 곱셈 결과 바뀌지 않은 점은 "여전히 같은 방향을 가진다"는 점이다. 그러..

벡터는 크기와 방향을 동시에 나타낸다. 시속 50km로 달리는 자동차 자체는 벡터가 아닌 단순한 크기(속력)을 의미한다. 이 값은 스칼라이다. 이 자동차가 벡터가 되기위해선 방향을 가져야한다. 자동차가 동쪽으로 달린다고 하면 "동쪽으로 시속 50km를 달리는 자동차"는 속도(velocity)를 가지고, 이는 벡터가 된다. 벡터를 표기할땐 기호 위에 작은 화살표를 그린다. (5,0)으로 표기된 벡터는 수직 방향으로 5만큼, 수평방향으로 0만큼 이동한 방향벡터를 나타내고 긴 대괄호로 표현한다. R2라고 표시하는 것은 2차원 실수좌표공간을 의미한다. 2차원 실수좌표공간은 실수값을 가진 모든 2-튜플을 말한다. 튜플은 순서가 정해진 실수 2개의 순서리스트이다. 따라서 R3는 3차원 실수좌표공간이 된다. 즉, 순..